先生、ベットの大きさっていつも迷うんです。ハーフポットとかポットサイズとか、何を基準に決めればいいんですか？
決め手はふたつ。あと何回ベットできるかと、自分のレンジがどんな形か。今日は、毎回同じ割合でちょうどオールインになる「幾何学的ベットサイズ」の式を作って、それがなぜ得なのかをおもちゃのゲームで確かめよう。
ベット額で変わる3つの数字
まず、ベット額 B が変わると何が変わるかを整理します。ポット（場に出ているチップの合計）は P とします。
- ポットオッズ（コールに必要な勝率）＝ B ÷（P ＋ 2B）。ポラライズしたベット範囲（ナッツかブラフ）では、これがそのまま ブラフの割合 になる
- MDF（ブラフに対して最低限守るコールの割合）＝ P ÷（P ＋ B）
- アルファ（ブラフが損益ゼロになる相手のフォールド率）＝ B ÷（P ＋ B）
| ベット額（P ＝ 100） | 25 | 50 | 75 | 100 | 150 |
|---|---|---|---|---|---|
| ブラフの割合 B ÷（P ＋ 2B） | 16.7% | 25% | 30% | 33.3% | 37.5% |
| MDF P ÷（P ＋ B） | 80% | 66.7% | 57.1% | 50% | 40% |
| アルファ B ÷（P ＋ B） | 20% | 33.3% | 42.9% | 50% | 60% |
ベットが大きいほど、ブラフを多く混ぜられ、相手は多くフォールドしてよくなります。どれも無差別の原理から出る数字です。くわしくは「ポットオッズ」「MDF」「ブラフの割合とベットサイズ」の単元を見てください。
幾何学的ベットサイズ：毎回同じ割合でオールイン
ここからは「残りのチップを、あと何回のベットで全部入れるか」を考えます。
場面：フロップ K♠7♥2♣、あなたは 7♦7♣（セット）。ポット 100、2人とも残りのチップは 400。フロップ・ターン・リバーの3回とも相手がコールしてくれるなら、リバーでちょうどオールイン（持っているチップを全部賭ける）にしたい
毎回ポットに対して同じ割合 f をベットし、相手がコールするとします。1回のベットとコールで、ポットは P から P ＋ fP ＋ fP ＝ P ×（1 ＋ 2f）に増えます。これを n 回くり返すとポットは P ×（1 ＋ 2f）^n です。
ちょうどオールインになったとき、ポットは「最初のポット ＋ 2人の残りのチップ全部」で P ＋ 2S です（S：2人の少ないほうの残りのチップ）。
P ×（1 ＋ 2f）^n ＝ P ＋ 2S
両辺を P で割ると（1 ＋ 2f）^n ＝ 1 ＋ 2S ÷ P
f ＝｛（1 ＋ 2S ÷ P）の n 乗根 − 1｝÷ 2
S ÷ P は SPR（スタックとポットの比率）なので、f は「SPR」と「残りのベット回数 n」だけで決まります。
上の場面（P ＝ 100、S ＝ 400、n ＝ 3）
（1 ＋ 2f）³ ＝ 1 ＋ 800 ÷ 100 ＝ 9 → 1 ＋ 2f ＝ 9 の3乗根 ＝ 2.080 → f ＝ 54.0%
- フロップ：100 × 54.0% ＝ 54.0 をベット → ポット 208.0、残り 346.0
- ターン：208.0 × 54.0% ＝ 112.3 → ポット 432.7、残り 233.7
- リバー：432.7 × 54.0% ＝ 233.7 ＝ 残り全部 → ポット 900（＝ 100 ＋ 2 × 400）
早見表（ポットに対するベットの割合）
| SPR（S ÷ P） | 残り1回 | 残り2回 | 残り3回 |
|---|---|---|---|
| 1 | 100% | 36.6% | 22.1% |
| 2 | 200% | 61.8% | 35.5% |
| 3 | 300% | 82.3% | 45.6% |
| 4 | 400% | 100% | 54.0% |
| 6 | 600% | 130.3% | 67.6% |
| 8 | 800% | 156.2% | 78.6% |
| 13 | 1300% | 209.8% | 100% |
SPR 4 なら2回ともポットサイズ、SPR 13 なら3回ともポットサイズでちょうどオールインです。SPR が大きいほど、少ない回数でオールインにするには大きなベット（オーバーベット：ポットより大きいベット）が必要になります。
検算のしかた：SPR 2、残り2回なら 1 ＋ 2 × 2 ＝ 5、√5 ＝ 2.236、（2.236 − 1）÷ 2 ＝ 61.8%。1回目 61.8、ポット 223.6、2回目 223.6 × 61.8% ＝ 138.2。61.8 ＋ 138.2 ＝ 200 ＝ S で合っています。
なぜ「毎回同じ割合」なのか：2回ベットのおもちゃのゲーム
オールインまで持っていくだけなら、1回目を小さく2回目を大きくしても、その逆でもかまいません。どう分けるのが得なのかを、「リバーの1回ベットゲーム」を2回に広げたおもちゃのゲームで確かめます。
2回ベットのゲーム
- ポット P、2人の残りのチップ S。ベットする側（IP）のレンジは割合 v が ナッツ、残りが エア（必ず負ける手）。受ける側（OOP）は ブラフキャッチャー だけで、いつもチェックする
- 1回目：IP は B₁ をベットするかチェック。チェックしたらそのままショーダウン（話を簡単にするため）
- OOP がコールしたら2回目：IP は残り全部 B₂ ＝ S − B₁ をベットするかチェック
- 途中でカードの強さは変わらない
後ろから解く
2回目 は、ポット P₂ ＝ P ＋ 2B₁ の「リバーの1回ベットゲーム」そのものです。IP がナッツ v と、1回目にブラフしたエア a₁ を持っているとき、2回目にブラフを続けるエアの量（レンジ全体に対する割合）は a₂ ＝ v × B₂ ÷（P₂ ＋ B₂）、OOP のコール頻度は P₂ ÷（P₂ ＋ B₂）です。
1回目 は、OOP がコールとフォールドで無差別になるように a₁ が決まります。OOP は2回目でもコールとフォールドが無差別なので、「1回目はコールして、2回目のベットにはフォールドする」として損得を数えてかまいません。
- IP が2回目にあきらめる（エアの a₁ − a₂）：OOP はポット P₂ を取る。1回目のフォールドと比べて ＋（P ＋ B₁）
- IP が2回目もベットする（ナッツ v とエア a₂）：OOP はフォールドして B₁ を失う
（a₁ − a₂）×（P ＋ B₁）＝（v ＋ a₂）× B₁
a₁ ＝｛v × B₁ ＋ a₂ ×（P ＋ 2B₁）｝÷（P ＋ B₁）
OOP はどこでも無差別なので「いつもフォールド」として数えると、OOP が取れるのは1回目に IP のエアがチェックしたときだけ：OOP の EV ＝（1 − v − a₁）× P
IP の EV ＝ P − OOP の EV ＝（v ＋ a₁）× P
IP の EV は、1回目にベットするエア a₁ が多いほど大きくなります。そこで、B₁ を変えて a₁ を比べます（エアが足りる、つまり a₁ ≦ 1 − v の範囲で考えます）。
数値で比べる（P ＝ 100、S ＝ 300、ナッツ30%）
幾何学的サイズは f ＝（√7 − 1）÷ 2 ＝ 82.3% なので、B₁ ＝ 82.3、B₂ ＝ 217.7 です。
| 1回目 B₁ | 0 | 25 | 50 | 82.3 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2回目 B₂ | 300 | 275 | 250 | 217.7 | 200 | 150 | 100 | 50 | 0 |
| 1回目のエア a₁ | 22.5% | 29.3% | 32.2% | 33.2% | 33.0% | 31.1% | 28.3% | 25.4% | 22.5% |
| IP の EV | 52.5 | 59.3 | 62.2 | 63.2 | 63.0 | 61.1 | 58.3 | 55.4 | 52.5 |
B₁ ＝ 100 の場合を手で確かめます。P₂ ＝ 300、a₂ ＝ 0.3 × 200 ÷ 500 ＝ 0.12、a₁ ＝（0.3 × 100 ＋ 0.12 × 300）÷ 200 ＝ 66 ÷ 200 ＝ 0.33、IP の EV ＝（0.3 ＋ 0.33）× 100 ＝ 63.0 です。B₁ ＝ 0 や 300 は「1回で全部ベットする」のと同じで、リバーの1回ベットゲームの式 v × P ×（P ＋ 2S）÷（P ＋ S）＝ 0.3 × 100 × 700 ÷ 400 ＝ 52.5 と一致します。
最大になるのは、2回のベットがポットに対して同じ割合になる 幾何学的サイズ のときです。B₁ を 0.01 刻みで動かして最大の点を探す計算でも、残りのチップが 100・200・400・800 のどの場合も、最大の点は幾何学的サイズ（36.6%・61.8%・100%・156.2%）と一致しました。3回ベットに広げても（ポット100・残り400）、最も得な分け方は 54.0 → 112.3 → 233.7 の幾何学的サイズでした。また、各 B₁ で、両者が相手の戦略に対して最善の対応になっている（均衡になっている）ことも計算で確かめています。
1回で全部ベットするより、2回に分けたほうが得なんですね。
そう。このゲームでは、分けると1回目にブラフできるエアが 22.5% から 33.2% に増える。そのぶん OOP がチェックで取れるポットが減るんだ。分け方がかたよると、どちらかの回のベットが小さすぎてブラフを混ぜにくくなる。毎回同じ割合にすると、それがいちばん大きくなるんだよ。
ナッツの多さとベットの大きさ
幾何学的サイズは「オールインまで持っていきたい」ときの基準です。そもそも大きく賭けるべきかどうかは、レンジの形で決まります。おもちゃのゲームの結果を並べると、ちがいがよくわかります。
| ゲーム | ベットする側 | 受ける側 | ベット額と EV |
|---|---|---|---|
| リバーの1回ベットゲーム | ナッツかエア（ポラライズ） | ブラフキャッチャーだけ | 大きいほど得（オールインが最適） |
| AKQゲーム | A・K・Q | A（ナッツ）・K・Q | ポットの約41.4%が最も得。ポット以上ではベットの得がなくなる |
リバーの1回ベットゲームでは、ナッツ50%のときの EV は 50 ×｛1 ＋ B ÷（100 ＋ B）｝で、B ＝ 50 で 66.7、100 で 75、200 で 83.3 と増え続けました。ベットする側だけがナッツを持ち、受ける側にはナッツがないからです。
AKQゲームでは、受ける側にも A（ナッツ）があります。ブラフは A に必ずコールされ、ベットする側の A は K にコールしてもらわないと得をしません。ベットを大きくすると K がコールしなくなり、得が減ります。
- ポラライズ（ナッツ級の手とブラフに分かれた）したレンジで、相手にナッツが少ない → 大きいベット・オーバーベットが向く
- マージ（中くらいの強さの手まで含めた）したレンジ、または相手にも強い手がある → 小さいベットが向く。小さいベットなら、自分より弱い手にもコールしてもらえる
レンジの形とベット額の関係は「ポラライズとマージ」でくわしく扱います。
よくある勘違い
「幾何学的サイズはいつも正しいサイズ」：幾何学的サイズは「毎回コールされ、最後にオールインになる」流れを前提にした基準です。ターンやリバーでカードが変われば手の強さも変わりますし、レンジがマージしていれば小さいベットのほうが得なこともあります。2回ベットのゲームの結果も、ナッツかエアに分かれたレンジ対ブラフキャッチャーという前提から出ています。
「残りのチップを回数で等分すればよい」：残り400を2回なら200ずつ、とすると、1回目はポットの200%、2回目はポット500に対して40%になり、割合がそろいません。同じ割合にするには、1回目100（100%）、2回目300（ポット300に100%）です。
「大きいベットほど得」：それはリバーの1回ベットゲームのように、受ける側にナッツがないときの話です。AKQゲームのように相手にも強い手があると、大きすぎるベットは損をします。
ここが大事！
- ベット額が変わると、ブラフの割合 B ÷（P ＋ 2B）、MDF P ÷（P ＋ B）、アルファ B ÷（P ＋ B）が変わる
- 幾何学的ベットサイズ：P ×（1 ＋ 2f）^n ＝ P ＋ 2S から f ＝｛（1 ＋ 2S ÷ P）の n 乗根 − 1｝÷ 2
- P ＝ 100、S ＝ 400 なら、残り2回で100%ずつ、残り3回で54.0%ずつ（54.0 → 112.3 → 233.7）
- 2回ベットのおもちゃのゲーム（P ＝ 100、S ＝ 300、ナッツ30%）では、幾何学的サイズ（82.3%ずつ）のとき EV 63.2 で最大。1回で全部なら52.5
- 受ける側にナッツがなく、自分のレンジがポラライズ → 大きく。相手にも強い手がある・自分のレンジがマージ → 小さく