先生、「AKQゲーム」って名前をよく見ます。カード3枚だけのポーカーなんですか？
そう。A・K・Q の3枚しかない、とても小さいポーカー。でも「バリューベット」「ブラフ」「ブラフキャッチャー」が全部そろっていて、無差別の原理だけで最後まで解けるんだ。答えを覚えるんじゃなくて、自分で導いてみよう。
ゲームのルール（前提）
結論はこの前提から出てくるので、最初にはっきり決めておきます。
AKQゲーム（半ストリート版）
- カードは A・K・Q の3枚だけ。強さは A ＞ K ＞ Q。2人に1枚ずつ配り、残り1枚は使わない（6通りの配り方が同じ確率 1/6）
- ポット（場に出ているチップの合計）は P。2人とも手元のチップは十分ある
- 先手は必ずチェック する
- 後手だけ が、ベット（額 B） か チェック を選べる
- 後手がベットしたら、先手は コール か フォールド（降りる）。レイズはない
- 後手がチェックしたら、そのままショーダウン（手を見せ合う）
- ショーダウンでは強いカードの人がポット（コールがあればベットも）を取る
1回だけベットの機会があって、それを使えるのは後手だけなので「半ストリート」と呼びます。期待値（EV：平均してどれだけチップを得るか）は、「リバーの1回ベットゲーム」と同じく、ポット P の取り分も含めて「最後に手に入るチップ − このゲームで出したチップ」 で数えます。2人の EV の合計はいつも P です。
本物のポーカーにたとえると、リバーでボードが J♠8♥4♦3♣2♠ のとき、A は J♣J♦（セット）、K は J♥T♣（トップペア）、Q は 7♥6♥（何もできなかった手）のようなものです。
明らかな行動を先に決める
無差別の原理の手順どおり、まず迷う余地のない行動を決めます。
先手：A はいつもコール、Q はいつもフォールド
先手の A はベットされても必ず勝つので、コールすれば P ＋ B、フォールドすれば 0。いつもコール です。先手の Q は必ず負けるので、コールすると B を失うだけ。いつもフォールド です。
後手：A はいつもベット
後手の A はチェックすれば P を取り、ベットすれば相手がフォールドしても P、コールされれば P ＋ B を取ります。損をすることはないので いつもベット します（バリューベット：負けている手からチップを取るためのベット）。
後手：K はいつもチェック
後手の K がベットするとどうなるか、先手のカードで分けて計算します。
K でベット：先手が A（確率 1/2）ならコールされて負ける → −B。先手が Q（1/2）ならフォールドされる → P
EV ＝ 1/2 ×（−B）＋ 1/2 × P ＝ P/2 − B/2
K でチェック：A に負けて 0、Q に勝って P → EV ＝ 1/2 × P ＝ P/2
ベットすると B/2 だけ損です。K でベットしても、勝っている相手（Q）は降り、負けている相手（A）だけがコールする からです。K は いつもチェック します。中くらいの強さの手は、ベットしても得をしにくいのです。
残る問題は2つだけです。後手の Q はどれだけブラフするか、先手の K はどれだけコールするか。
後手の Q のブラフ頻度を導く
先手の K がコールとフォールドを混ぜるなら、K にとって コールしてもフォールドしても同じ損得 になっていなければなりません。そうなるように、後手の Q のブラフ頻度 β（Q を持ったときにベットする確率）が決まります。
先手が K を持っているとき、後手は A か Q を半々で持っています。
- 後手が A（1/2）：いつもベット → K がコールすると B を失う
- 後手が Q（1/2）：β の確率でベット → K がコールすると P ＋ B を取る
K のコールの EV（フォールドとの差）＝ 1/2 × β ×（P ＋ B）− 1/2 × 1 × B
これを 0 にすると β ×（P ＋ B）＝ B
β ＝ B ÷（P ＋ B）
ベットのうちブラフが占める割合を確かめます。K から見たベットは「A のベット 1/2」と「Q のブラフ β/2」なので、ブラフの割合 ＝ β ÷（1 ＋ β）＝ B ÷（P ＋ 2B）。これはポットオッズ（コールに必要な勝率）と同じで、「リバーの1回ベットゲーム」のブラフの割合と一致します。A と Q は同じ確率で配られるので、β ＝ B ÷（P ＋ B）は「ナッツ1に対するブラフの量」そのものです。
先手の K のコール頻度を導く
今度は後手の Q がブラフとチェックを混ぜるので、Q にとって ブラフしてもチェックしても同じ損得 になっていなければなりません。Q はチェックするとショーダウンで必ず負けるので損得 0 です。先手の K のコール頻度を c とします。
後手が Q を持っているとき、先手は A か K を半々で持っています。
- 先手が A（1/2）：いつもコール → ブラフは B を失う
- 先手が K（1/2）：c の確率でコール → コールされれば B を失い、フォールドされれば P を取る
Q のブラフの EV ＝ 1/2 ×（−B）＋ 1/2 ×｛（1 − c）× P − c × B｝
これを 0 にすると −B ＋（1 − c）× P − c × B ＝ 0
P − B ＝ c ×（P ＋ B）
c ＝（P − B）÷（P ＋ B）
あれ？ MDF だと P ÷（P ＋ B）のはずなのに、K のコール頻度はそれより小さいですね。
いいところに気づいたね。先手の A もコールしているのを忘れないで。Q のブラフから見た「先手全体のコール率」は、A の 1/2 と K の c/2 を足したものなんだ。
先手全体のコール率 ＝ 1/2 × 1 ＋ 1/2 × c ＝ 1/2 ×｛1 ＋（P − B）÷（P ＋ B）｝＝ 1/2 × 2P ÷（P ＋ B）＝ P ÷（P ＋ B）
先手は、A と K を合わせてちょうど MDF（ブラフに対して最低限守るコールの割合）だけ守っています。A がもともとコールする分があるので、K が受け持つのは残りだけでよいのです。
B がポット以上のとき
c ＝（P − B）÷（P ＋ B）は、B ≧ P では 0 以下になります。このときは、先手の K がまったくコールしなくても、Q のブラフの EV ＝ 1/2 ×（−B）＋ 1/2 × P ≦ 0 です。半分の確率で A にコールされるので、ブラフが割に合いません。B ≧ P では Q はブラフせず、K はいつもフォールド になり、ベットしても A がポットを取るだけです。以下では B ＜ P とします。
数値で検算する（P ＝ 100、B ＝ 50）
- Q のブラフ頻度 β ＝ 50 ÷ 150 ＝ 1/3
- K のコール頻度 c ＝（100 − 50）÷（100 ＋ 50）＝ 1/3
- K のコールの検算：K が見るベットは A 1/2、Q のブラフ 1/2 × 1/3 ＝ 1/6。ブラフの割合 ＝ 1/6 ÷ 2/3 ＝ 25% ＝ 50 ÷ 200。コールの EV ＝ 25% × 150 − 75% × 50 ＝ 37.5 − 37.5 ＝ 0
- Q のブラフの検算：1/2 ×（−50）＋ 1/2 ×（2/3 × 100 − 1/3 × 50）＝ −25 ＋ 25 ＝ 0
6通りの配り方ごとに、後手の EV を数えます。
| 後手 | 先手 | 起きること | 後手の EV |
|---|---|---|---|
| A | K | ベット、K は 1/3 コール | 100 ＋ 1/3 × 50 ＝ 116.7 |
| A | Q | ベット、Q はフォールド | 100 |
| K | A | チェックして負け | 0 |
| K | Q | チェックして勝ち | 100 |
| Q | A | 1/3 ブラフしてコールされる | 1/3 ×（−50）＝ −16.7 |
| Q | K | 1/3 ブラフ、K は 1/3 コール | 1/3 ×（2/3 × 100 − 1/3 × 50）＝ 16.7 |
| 合計 ÷ 6 | 316.7 ÷ 6 ＝ 52.8 |
後手の EV は 52.8、先手の EV は 100 − 52.8 ＝ 47.2 です。どちらもベットしなければ、3枚のうち強いほうがポットを取るだけなので、2人とも 50 です。ベットできる後手が 2.8 多く取っています。
このページの数字は、後手の A・K・Q それぞれのベット確率と、先手の A・K・Q それぞれのコール確率を細かい刻みで全部試し、「相手が最善の対応をしたときの EV」がいちばんよい戦略を探す計算でも確かめました。P ＝ 100、B ＝ 50 では、後手が A 100%・K 0%・Q 1/3 ベット、先手が A 100%・K 1/3・Q 0% コール、後手の EV 52.8 で、式と一致しています。
均衡の EV を式で表す
Q のブラフの EV は均衡では 0 なので、Q の行の合計（−16.7 ＋ 16.7）は 0 になります。残りを足すと次の式になります。
後手の EV ＝ 1/6 ×｛（P ＋ cB）＋ P ＋ 0 ＋ P｝＝ P/2 ＋ c × B ÷ 6
c を代入して 後手の EV ＝ P/2 ＋ B ×（P − B）÷｛6 ×（P ＋ B）｝
P/2 は「ベットがなかったときの取り分」で、上乗せ分 c × B ÷ 6 は「A が K からコールでもらう分」です。Q のブラフは、それ自体では得をしませんが、K にコールさせる理由をつくって A のバリューベットを支えています。
ベットは大きければよいわけではない
「リバーの1回ベットゲーム」では、ベット額が大きいほどベットする側が得をしました。AKQゲームではどうでしょうか。上の式で B を変えてみます（P ＝ 100）。
| B | 0 | 25 | 41.4 | 50 | 75 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| K のコール c | − | 60% | 41.4% | 33.3% | 14.3% | 0% |
| Q のブラフ β | − | 20% | 29.3% | 33.3% | 42.9% | 0% |
| 後手の EV | 50 | 52.5 | 52.86 | 52.78 | 51.79 | 50 |
上乗せ分 B ×（P − B）÷（P ＋ B）を最大にする B を求めます。B で微分して 0 とおくと、
（P − 2B）×（P ＋ B）− B ×（P − B）＝ 0 → P² − 2PB − B² ＝ 0
B ＝（√2 − 1）× P ≒ 0.414 × P
P ＝ 100 なら B ≒ 41.4 で、後手の EV は最大の 52.86 です（数値でも 0.1 刻みで B を動かして同じ値になることを確かめています）。
リバーの1回ベットゲームと結果が逆ですね。何がちがうんですか？
先手のレンジに A（ナッツ）がある ことだよ。リバーの1回ベットゲームでは受ける側はブラフキャッチャーだけだったけど、AKQ では Q のブラフは半分の確率で A に必ずコールされる。ベットを大きくするとブラフの損が大きくなり、K もコールしなくなるから、A がもらえる分も減るんだ。
ベットの大きさの決め方は「ベットサイズの理論」でまとめて扱います。
よくある勘違い
「K はそこそこ強いからベットする」：このゲームの K は、ベットすると勝っている相手（Q）が降り、負けている相手（A）だけがコールします。ベットの EV はチェックより B/2 少なくなります。中くらいの手でベットしても得をしにくいのは、本物のポーカーでもよくあることです。
「K のコール頻度は MDF と同じ」：K だけで MDF を守る必要はありません。先手の A は必ずコールするので、K のコール頻度は（P − B）÷（P ＋ B）で、A と合わせたコール率がちょうど MDF の P ÷（P ＋ B）になります。
「Q のブラフは得をするからする」：均衡では Q のブラフの EV はチェックと同じ 0 です。ブラフする理由は、ブラフが混ざっていないと K がいつもフォールドしてしまい、A のベットがコールされなくなるからです。
ここが大事！
- 前提：A・K・Q を1枚ずつ、ポット P、後手だけがベット B かチェック、先手は必ずチェックしてからコールかフォールド
- 明らかな行動：後手の A はいつもベット、K はいつもチェック。先手の A はいつもコール、Q はいつもフォールド
- 先手の K を無差別にする → 後手の Q のブラフ頻度 β ＝ B ÷（P ＋ B）
- 後手の Q を無差別にする → 先手の K のコール頻度 c ＝（P − B）÷（P ＋ B）。A と合わせると MDF
- 後手の EV ＝ P/2 ＋ B ×（P − B）÷｛6 ×（P ＋ B）｝。P ＝ 100、B ＝ 50 で 52.8（先手 47.2）
- 受ける側にナッツがあると、ベットは大きいほどよいとは限らない。このゲームでは B ≒ 0.414P が最も得