先生、「リバーはハーフポットならバリュー3：ブラフ1」って覚えたんですけど、なんで3：1なんですか？
いい質問！ それはものすごく単純にしたポーカーを解くと出てくる数字なんだ。今日はそのおもちゃのゲームを、式で最後まで解いてみよう。ソルバー（GTO を計算するソフト）がなくても、紙と電卓で均衡が出せるよ。
式で全部出せるなら、丸暗記しなくてよさそうですね。
ゲームのルール（前提）
本物のポーカーは複雑すぎるので、リバー（5枚目の共通カードが出たあと、最後のベットラウンド）の1場面だけを取り出し、次のように単純化します。この前提の外では結論がそのまま使えないので、まず前提をはっきりさせます。
リバーの1回ベットゲーム
- ポット（場に出ているチップの合計）は P。2人とも手元のチップは十分にある
- 先に行動する側（OOP：アウトオブポジション）は必ずチェックする
- あとから行動する側（IP：インポジション）が、ベット（額 B） か チェック を選ぶ
- IP のレンジ（ありうる手の集まり）は、割合 v が ナッツ（必ず勝つ手）、残り 1 − v が エア（必ず負ける手）
- OOP の手は ブラフキャッチャー だけ（IP のナッツには負け、エアには勝つ手）
- IP がベットしたら、OOP は コール か フォールド（降りる）。レイズはない
- IP がチェックしたらそのままショーダウン（手を見せ合う）。ナッツなら IP がポットを取り、エアなら OOP が取る
たとえばボードが K♠9♥6♥2♣3♦ で、OOP が K♣T♣（トップペア）を持っている場面を想像してください。IP のレンジには 9♠9♦ のようなセット（強い手）と、Q♥J♥ のように♥がそろわなかったフラッシュドロー（はずれた手）がある、という状況です。このモデルでは、強い手を「ナッツ」、はずれた手を「エア」とまとめて扱います。
IP のレンジは「とても強い」か「とても弱い」の両極端に分かれています。これを ポラライズ（両極化） したレンジといいます。
期待値（EV：平均してどれだけチップを得るか）は、ポット P も含めて「最終的に手に入るチップ − このラウンドで出したチップ」 で数えます。こう数えると、2人の期待値の合計はいつも P になります。
均衡を求める考え方：相手を「無差別」にする
均衡（ナッシュ均衡）とは、どちらも自分だけ戦略を変えても得をしない状態です。このゲームでは次の2つが同時に成り立つところが均衡になります。
- IP のブラフが多すぎず少なすぎず、OOP にとって コールしてもフォールドしても同じ損得（無差別）
- OOP のコールが多すぎず少なすぎず、IP のエアにとって ブラフしてもチェックしても同じ損得
どうして「同じ損得」にしないといけないんですか？
もし OOP にとってコールのほうが得なら、OOP は毎回コールするよね。そうなると IP はブラフをやめる。ブラフがなくなれば今度は OOP は毎回フォールドしたい…と、ずっと動き続けてしまう。どちらも動く理由がなくなる点が「同じ損得」の点なんだ。
その前に、ナッツは必ずベットすると決めておきます。ナッツはベットすれば、相手がフォールドしてもポット P は取れ、コールされれば P ＋ B を取れます。チェックすると P しか取れないので、ベットのほうが損をすることはありません。
ステップ1：ブラフの割合（OOP を無差別にする）
IP がベットしたとき、そのベットがブラフである確率を q とします。OOP がコールしたときの損得を、フォールド（損得 0）と比べます。
- ブラフだった（確率 q）：OOP は P ＋ B を手に入れる（もともとのポットと IP のベット）
- ナッツだった（確率 1 − q）：OOP はコールした B を失う
コールの EV ＝ q ×（P ＋ B）−（1 − q）× B ＝ q ×（P ＋ 2B）− B
これを 0 にすると q ＝ B ÷（P ＋ 2B）
これはポットオッズ（コールに必要な勝率）と同じ式です。ハーフポット（B ＝ P/2）なら 0.5P ÷ 2P ＝ 25%（バリュー3：ブラフ1）、ポットサイズ（B ＝ P）なら P ÷ 3P ＝ 33.3%（2：1）になります。冒頭の「3：1」はここから出ていました。
ステップ2：ブラフする量
IP はナッツ（レンジ全体の v）を全部ベットします。エアのうちブラフする量（レンジ全体に対する割合）を b とすると、ベット範囲のブラフの割合は b ÷（v ＋ b）です。これをステップ1の q と等しくします。
b ÷（v ＋ b）＝ B ÷（P ＋ 2B）
両辺に分母を掛けて：b ×（P ＋ 2B）＝ B ×（v ＋ b）
整理して：b ×（P ＋ B）＝ v × B
b ＝ v × B ÷（P ＋ B）
つまり、ナッツ1に対してブラフは B ÷（P ＋ B）。この B ÷（P ＋ B）はアルファ（ブラフが損益ゼロになる相手のフォールド率）と同じ式です。残りのエア（1 − v − b）はチェックして、ショーダウンで負けます。
なお、ブラフに回すエアが足りること（b ≦ 1 − v）が必要です。B ÷（P ＋ B）は1より小さいので、ナッツが半分以下（v ≦ 50%）なら、どんなベット額でも足ります。
ステップ3：コール頻度（IP のエアを無差別にする）
OOP のコール頻度を c とします。IP のエアがブラフしたときの損得を、チェック（必ず負けるので損得 0）と比べます。
ブラフの EV ＝（1 − c）× P − c × B
これを 0 にすると c ＝ P ÷（P ＋ B）
これは MDF（ブラフに対して最低限守るコールの割合）とぴったり一致します。ハーフポットなら 66.7%、ポットサイズなら 50% です。
均衡の期待値を計算する
均衡では IP のブラフの EV もチェックしたエアの EV も 0 なので、IP の期待値はナッツの分だけです。
ナッツの EV ＝ P ＋ c × B ＝ P ＋ P × B ÷（P ＋ B）＝ P ×（P ＋ 2B）÷（P ＋ B）
IP の EV ＝ v × P ×（P ＋ 2B）÷（P ＋ B）
OOP の EV ＝ P − IP の EV
OOP の EV は別の方法でも確かめられます。均衡では OOP はコールしてもフォールドしても同じなので、「ベットされたら必ずフォールドする」として数えてかまいません。すると OOP がチップを取れるのは、IP がエアでチェックしたときだけです。
OOP の EV ＝（1 − v − b）× P
v ＋ b ＝ v ×（P ＋ 2B）÷（P ＋ B）なので、これは P − IP の EV と同じ式になります。
数値で検算（P ＝ 100、ナッツ50%・エア50%）
B ＝ 100（ポットサイズ）の場合
- ブラフの割合 ＝ 100 ÷ 300 ＝ 33.3%
- ブラフする量 b ＝ 0.5 × 100 ÷ 200 ＝ 0.25（レンジの25%）
- ベット範囲 ＝ 50% ＋ 25% ＝ 75%、うちブラフ ＝ 25 ÷ 75 ＝ 33.3%（ステップ1と一致）
- コール頻度 c ＝ 100 ÷ 200 ＝ 50%
- IP の EV ＝ ナッツ 0.5 ×（100 ＋ 0.5 × 100）＋ ブラフ 0.25 ×（0.5 × 100 − 0.5 × 100）＋ チェック 0 ＝ 75 ＋ 0 ＋ 0 ＝ 75
- OOP の EV ＝ 100 − 75 ＝ 25。チェックしたエア 25% × 100 ＝ 25 とも一致
同じ計算を B ＝ 50、200 でもしてみます。
| B ＝ 50 | B ＝ 100 | B ＝ 200 | |
|---|---|---|---|
| ブラフの割合 B ÷（P ＋ 2B） | 50 ÷ 200 ＝ 25% | 100 ÷ 300 ＝ 33.3% | 200 ÷ 500 ＝ 40% |
| ナッツ1に対するブラフ B ÷（P ＋ B） | 1/3 | 1/2 | 2/3 |
| ブラフする量 b | 16.7% | 25% | 33.3% |
| ベットする割合 v ＋ b | 66.7% | 75% | 83.3% |
| チェックするエア | 33.3% | 25% | 16.7% |
| コール頻度 P ÷（P ＋ B） | 66.7% | 50% | 33.3% |
| ナッツの EV P ＋ cB | 133.3 | 150 | 166.7 |
| IP の EV | 66.7 | 75 | 83.3 |
| OOP の EV | 33.3 | 25 | 16.7 |
B ＝ 200 の検算：ナッツの EV ＝ 100 ＋ 1/3 × 200 ＝ 166.7、IP の EV ＝ 0.5 × 166.7 ＝ 83.3、OOP の EV ＝ 16.7% × 100 ＝ 16.7（100 − 83.3 と一致）。
比べるために、IP が一度もベットしない（いつもチェック）場合を考えると、IP はナッツの50%でポットを取るだけなので EV は 50、OOP も 50 です。ベットという選択肢があるだけで、IP は取り分を増やせることがわかります。
ベットが大きいほど、ベットする側は得をする
表を見ると、B が大きいほど IP の EV が増えています。これがたまたまかどうか、式で確かめます。
IP の EV ＝ v × P ×（P ＋ 2B）÷（P ＋ B）＝ v × P ×｛1 ＋ B ÷（P ＋ B）｝
B ÷（P ＋ B）は、B が 0 のとき 0 で、B を大きくするほど増えて 1 に近づく
→ IP の EV は B が大きいほど増え、2 × v × P に近づく
P ＝ 100、v ＝ 0.5 で B を変えると次のとおりです（いずれも 50 × ｛1 ＋ B ÷（100 ＋ B）｝で計算）。
| B | 0（ベットなし） | 25 | 50 | 100 | 200 | 400 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B ÷（P ＋ B） | 0 | 0.2 | 0.333 | 0.5 | 0.667 | 0.8 |
| IP の EV | 50 | 60 | 66.7 | 75 | 83.3 | 90 |
したがって、このモデルでは 手元のチップが許すかぎり大きく賭ける＝オールイン（持っているチップを全部賭ける）が最適 です。
大きく賭けると、コールされる回数が減りますよね。それでも得なんですか？
コール頻度は下がるけど、コールされたときに取れる額がそれ以上に増えるんだ。しかもベットが大きいほど、ナッツ1に対して混ぜられるブラフも増える。OOP はナッツを持っていないから、大きいベットをとがめる方法がないんだよ。
ナッツが半分より多い（v ＞ 50%）場合は、B を大きくしていくと途中でブラフに回すエアが足りなくなります（v × B ÷（P ＋ B）＞ 1 − v）。そこから先は IP がレンジ全部をベットしても、ブラフの割合 1 − v がポットオッズ B ÷（P ＋ 2B）より小さいので、OOP はいつもフォールドするのが最善になり、IP はポット P を丸ごと取ります。この場合も「大きくして損をする」ことはありません。
よくある勘違い
「本物のポーカーでもリバーは全部オールインがいい」は誤り
この結論は「OOP がナッツを持っていない」「IP のレンジが完全に両極端」という前提から出ています。実際には OOP にも強い手があってチェックレイズ（チェックしたあとのレイズ）ができたり、IP にも中くらいの強さの手があったりするので、大きなベットが最適とは限りません。おもちゃのゲームは「なぜその比率になるか」を理解する道具です。
ブラフの割合（B ÷（P ＋ 2B））とブラフする量（v × B ÷（P ＋ B））を混同しない
ブラフの割合は「ベットした中で」ブラフが占める割合、ブラフする量は「レンジ全体のうち」ブラフに回す割合です。ポットサイズでは、ベット範囲の33.3%がブラフで、ナッツ50%のレンジなら全体の25%をブラフします。
均衡で OOP の EV が 25 だから「コールは損」ではない
均衡では、OOP にとってコールとフォールドの損得は同じ（どちらも差は 0）です。OOP の EV が P より小さいのは、IP がナッツを持つ分だけポットを取られるからで、コールの判断が悪いからではありません。
ここが大事！
- 均衡は、相手を「どちらを選んでも同じ損得」にする という条件から求められる
- 受ける側を無差別にする → ブラフの割合 ＝ B ÷（P ＋ 2B）
- ベットする側のブラフを無差別にする → コール頻度 ＝ P ÷（P ＋ B）（MDF と同じ）
- ナッツ v に対して ブラフする量 ＝ v × B ÷（P ＋ B）。残りのエアはチェック
- ベットする側の EV ＝ v × P ×（P ＋ 2B）÷（P ＋ B）。P ＝ 100、v ＝ 50% なら B ＝ 50 で 66.7、100 で 75、200 で 83.3
- このモデルでは B が大きいほどベットする側が得をし、オールインが最適。ただしそれはモデルの前提があるから