先生、GTO の頻度って「コール66.7%」とか「ブラフ25%」とか中途半端ですよね。どうやって決まってるんですか？
実は、ほとんど全部がひとつの原理から出てくるんだ。無差別の原理といって、「均衡で混ぜている行動は、どれも期待値が同じ」というもの。今日はこれを使って、じゃんけんの変形とポーカーの頻度を自分で解いてみよう。
ひとつの原理で全部…それなら覚えることが減りそうです。
無差別の原理とは
いくつかの行動を確率で混ぜる決め方を 混合戦略、いつも同じ行動をとる決め方を 純粋戦略 といいます（くわしくは「ナッシュ均衡とGTO」）。混合戦略の均衡には、次の性質があります。
無差別の原理：均衡で、ある人が2つ以上の行動を混ぜているなら、混ぜている行動の期待値はすべて等しい（その人にとって、どれを選んでも同じ＝無差別）
理由はかんたんです。たとえばポーカーで、ある手をコール60%・フォールド40%で混ぜているとします。もしコールの期待値（EV：平均してどれだけチップを得るか）のほうがフォールドより高ければ、フォールドに回していた40%もコールにするだけで期待値が上がります。それなのに混ぜているなら、相手に対して最善の対応（ベストレスポンス）をしていないことになり、均衡ではありません。だから、混ぜているなら期待値は等しいのです。
使わない行動については、「混ぜている行動の期待値以下」であれば問題ありません。使わない行動のほうが期待値が高いなら、それを使うはずだからです。
割合を決めるのは「相手」の損得
この原理を逆向きに使うと、自分の割合の求め方がわかります。
- 相手が行動を混ぜる均衡では、相手のそれぞれの行動の期待値が等しく なっていなければならない
- 相手の期待値は 自分の割合 で決まる
- だから「相手を無差別にする」という式を解くと、自分の割合 が出てくる
ここが直感とずれやすいところです。自分の割合を決めるのに使うのは、自分ではなく相手の損得の式 です。次のじゃんけんで、それがはっきりわかります。
グリコじゃんけんを解く
勝った手によって点数がちがうじゃんけんを考えます。階段の遊び「グリコ」にならって、勝った手の文字数を点数にします。
グリコじゃんけん（2人）
- グーで勝つと 3点（グ・リ・コ）、チョキで勝つと 6点（チ・ヨ・コ・レ・イ・ト）、パーで勝つと 6点（パ・イ・ナ・ツ・プ・ル）
- 勝った人は、その点数を負けた人からもらう（2人の合計はいつも0）
- あいこは 0点
パーとチョキは勝つと6点だから、そっちを多めに出せばいいですよね？
そう思うよね。でも計算すると、いちばん少なく出すのはパーなんだ。順番に解いてみよう。
1/3ずつでは負ける
ふつうのじゃんけんの均衡（1/3ずつ）をそのまま使うとどうなるか、相手の手ごとに相手の期待値を計算します。
あなたが1/3ずつ出すとき、相手の期待値は
- 相手のグー：1/3 × 0 ＋ 1/3 ×（−6）（あなたのパーに負け）＋ 1/3 ×（＋3）（あなたのチョキに勝ち）＝ −1
- 相手のパー：1/3 ×（＋6）＋ 1/3 × 0 ＋ 1/3 ×（−6）＝ 0
- 相手のチョキ：1/3 ×（−3）＋ 1/3 ×（＋6）＋ 1/3 × 0 ＝ ＋1
相手は「いつもチョキ」にすれば、1回あたり ＋1点ずつ取れます。1/3ずつはつけこまれる戦略です。
相手を無差別にする式を立てる
あなたがグー・パー・チョキを出す割合を g・p・c とします。このゲームは2人の立場が対等なので、均衡での期待値（ゲームの値）は 0 です。相手がどの手を出しても期待値が 0 になるように、あなたの割合を決めます。
- 相手のグーの期待値 ＝ 3c − 6p ＝ 0 → c ＝ 2p
- 相手のパーの期待値 ＝ 6g − 6c ＝ 0 → g ＝ c
- 相手のチョキの期待値 ＝ 6p − 3g ＝ 0 → g ＝ 2p
- 合計が1：g ＋ p ＋ c ＝ 2p ＋ p ＋ 2p ＝ 5p ＝ 1 → p ＝ 1/5
答え：グー 40%・パー 20%・チョキ 40%
検算します。相手のグー：3 × 0.4 − 6 × 0.2 ＝ 0、相手のパー：6 × 0.4 − 6 × 0.4 ＝ 0、相手のチョキ：6 × 0.2 − 3 × 0.4 ＝ 0。相手は何を出しても 0 なので、どう混ぜても 0 です。ゲームは対称なので、相手も同じ 40%・20%・40% が均衡です。
（このページの数字は、細かい刻みで全部の割合を試して「相手の最善の対応に対していちばん損が少ない割合」を探す計算でも確かめています。結果は同じ 40%・20%・40%、期待値 0 でした。）
なぜパーがいちばん少ないのか
パーで勝てば6点なのに、パーを出す割合はいちばん少ない20%です。これは、あなたの割合は相手の損得を等しくするために決まる からです。
あなたがパーを出すと、相手のチョキに負けて6点取られます。相手のチョキを得にさせないためには、あなたはパーをひかえめにする必要があります（6p − 3g ＝ 0 の式）。自分の勝ち点の大きさではなく、相手につけこまれる大きさ が割合を決めています。
解き方の手順
無差別の原理を使って均衡を求める手順をまとめます。
- 明らかな行動を先に決める：いつも得な行動（ナッツでのベットなど）や、いつも損な行動を除く
- 混ぜる行動を見当づける：どの行動を混ぜるかを仮に決める
- 相手を無差別にする式を立てる：相手の混ぜる行動の期待値が等しくなる条件から、自分の割合を求める（自分の側も同じように相手の割合を求める）
- 検算する：割合が0〜100%に入っているか、使わない行動の期待値が混ぜている行動以下か、を確かめる
手順2で見当がはずれていると、手順4で割合がマイナスになったり、使わない行動のほうが得になったりします。そのときは混ぜる行動の組み合わせを変えて解き直します。
ポーカーの頻度もこの原理から出る
ポーカーの基本の数字、MDF とブラフの割合も、無差別の原理そのものです。リバー（最後のベットラウンド）で、ポット（場に出ているチップの合計）P に、相手が B をベットした場面を考えます。ベットする側の手はナッツ（必ず勝つ手）かブラフ（必ず負ける手）、受ける側の手はブラフキャッチャー（ナッツには負け、ブラフには勝つ手）だけとします。
たとえばボードが Q♠8♥5♦3♣2♠、受ける側が Q♥T♣（トップペア）で、相手のベットは 8♣8♦（セット）か 7♥6♥（はずれたストレートドロー）のどちらか、という状況です。
MDF：相手のブラフを無差別にする
ベットする側がブラフを混ぜているなら、そのブラフは「ベットしても、チェックしてあきらめても同じ損得」でなければなりません。チェックしたブラフはショーダウン（手を見せ合う）で負けるので損得 0 です。受ける側のコール頻度を c とします。
ブラフの EV ＝（1 − c）× P（フォールドされてポットを取る）− c × B（コールされてベットを失う）
これを 0 にすると c ＝ P ÷（P ＋ B）
これが MDF（ブラフに対して最低限守るコールの割合）です。ポット100に50なら 100 ÷ 150 ＝ 66.7%。受ける側のコール頻度は、相手（ベットする側）のブラフを無差別にする 条件で決まっています。くわしくは「MDF」の単元を見てください。
ブラフの割合：相手のブラフキャッチャーを無差別にする
逆に、受ける側がコールとフォールドを混ぜているなら、ブラフキャッチャーにとってコールとフォールドの損得が等しくなければなりません。ベットのうちブラフの割合を q とします。
コールの EV ＝ q ×（P ＋ B）（ブラフに勝ってポットとベットを取る）−（1 − q）× B（ナッツに負ける）
フォールドの EV ＝ 0 と等しくすると q ＝ B ÷（P ＋ 2B）
ポット100に50なら 50 ÷ 200 ＝ 25%（バリュー3：ブラフ1）、ポット100に100なら 100 ÷ 300 ＝ 33.3%（2：1）です。ベットする側のブラフの割合は、相手（受ける側）を無差別にする 条件で決まっています。
| ベット額（P ＝ 100） | 50 | 75 | 100 | 150 |
|---|---|---|---|---|
| コール頻度 P ÷（P ＋ B） | 66.7% | 57.1% | 50% | 40% |
| ブラフの割合 B ÷（P ＋ 2B） | 25% | 30% | 33.3% | 37.5% |
グリコじゃんけんと同じで、ベットする側の割合は受ける側の損得の式から、受ける側の割合はベットする側の損得の式から出てきます。2つの式を同時に満たすところが均衡で、このモデルを最後まで解いたものが「リバーの1回ベットゲーム」です。3枚のカードで同じ考え方を使う「AKQゲーム」もあります。
よくある勘違い
「無差別なら、どの割合で混ぜてもいい」：無差別なのは「相手が均衡の割合を守っているとき」の自分の損得です。自分がどう混ぜても自分の期待値は変わりませんが、割合を変えると今度は相手が無差別でなくなり、相手につけこまれます。グリコじゃんけんで1/3ずつに変えると、相手はチョキで ＋1 点取れました。
「勝ったときの点数が大きい手を多く出す」：割合を決めるのは、自分の勝ち点ではなく相手の損得です。グリコじゃんけんでは、勝つと6点のパーがいちばん少ない20%でした。
「無差別＝期待値が0」：無差別は「混ぜている行動どうしの期待値が等しい」という意味で、その値が0とは限りません。たとえば均衡のブラフキャッチャーはコールしてもフォールドしても同じですが、ポットの取り分まで含めた全体の期待値は0ではありません。
ここが大事！
- 無差別の原理：均衡で混ぜている行動は、期待値がすべて等しい（ちがえば得なほうだけを選ぶはず）
- 自分の割合は、相手の行動の期待値を等しくする式 から求める
- グリコじゃんけん（グー3点、チョキ・パー6点）の均衡は グー40%・パー20%・チョキ40%。1/3ずつだと相手のチョキに1回あたり1点取られる
- 相手のブラフを無差別にする → コール頻度 P ÷（P ＋ B）（MDF）
- 相手のブラフキャッチャーを無差別にする → ブラフの割合 B ÷（P ＋ 2B）
- 解いたら、割合が0〜100%か、使わない行動のほうが得になっていないかを必ず検算する