先生、大会で「チップを倍にしても価値は倍にならない」って聞きました。チップはチップですよね？
大会でないふつうのゲームならチップ1枚の価値はいつも同じ。でも順位で賞品や順位点が決まる大会では、ちがうんだ。最後に全部のチップを集めても、もらえるのは1位の分だけだからね。今日はICMという計算で、チップの量から順位点の取り分を出してみよう。
チップと順位点はちがう
この単元では、次のような大会を考えます。お金ではなく、順位点（順位に応じてもらえるポイント）で数えます。
3人が残った大会
- 順位点：1位 50点、2位 30点、3位 20点（合計100点）
- 残りのチップ：Aさん 5000、Bさん 3000、Cさん 2000（合計10000）
- 順位は、チップがなくなった（脱落した）順に決まる。最後までチップが残った人が1位
チップの割合は A 50%・B 30%・C 20% です。では、順位点の取り分（期待値：平均して何点もらえるか）もこの割合どおり、A 50点・B 30点・C 20点でしょうか。
そうはなりません。C はチップが少なくても、3位になれば最低20点もらえます。逆に A は、チップを全部集めても1位の50点しかもらえません。チップの量と順位点の取り分は比例しないのです。チップを順位点の取り分に換算するモデルが ICM（Independent Chip Model：独立チップモデル）です。
Malmuth-Harville 方式の計算
ICM でよく使われるのが Malmuth-Harville（マームス・ハービル）方式 です。考え方はひとつだけです。
ある人が1位になる確率 ＝ その人のチップ ÷ 残っている全員のチップ
2位以下も同じ考えで、「1位の人を除いた残りのチップ」で割って順に求める
Aさん（5000）の取り分
1位：5000 ÷ 10000 ＝ 0.5
2位：だれかが1位になり、残り2人の中で A が1位になる確率を足す
- B が1位（0.3）のとき、残りは A 5000・C 2000 → A は 5000 ÷ 7000
- C が1位（0.2）のとき、残りは A 5000・B 3000 → A は 5000 ÷ 8000
2位 ＝ 0.3 × 5/7 ＋ 0.2 × 5/8 ＝ 0.2143 ＋ 0.1250 ＝ 0.3393
3位：1 − 0.5 − 0.3393 ＝ 0.1607
取り分 ＝ 50 × 0.5 ＋ 30 × 0.3393 ＋ 20 × 0.1607 ＝ 25 ＋ 10.18 ＋ 3.21 ＝ 38.39点
B と C も同じように計算します。
| チップ | 1位 | 2位 | 3位 | 順位点の取り分 | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 5000（50%） | 0.5 | 0.3 × 5/7 ＋ 0.2 × 5/8 ＝ 0.3393 | 0.1607 | 38.39 |
| B | 3000（30%） | 0.3 | 0.5 × 3/5 ＋ 0.2 × 3/8 ＝ 0.3750 | 0.3250 | 32.75 |
| C | 2000（20%） | 0.2 | 0.5 × 2/5 ＋ 0.3 × 2/7 ＝ 0.2857 | 0.5143 | 28.86 |
3人の取り分の合計は 38.39 ＋ 32.75 ＋ 28.86 ＝ 100.00 点で、順位点の合計と一致します。（すべての順位の並び方を数えあげる計算でも、同じ値になることを確かめています。）
チップの価値は一定でない
チップの量を変えると、取り分がどう変わるかを見ます。こんどは4人が残り、順位点は 1位50・2位30・3位20・4位0（合計10000チップ）とします。あなたのチップを変え、残りは3人で等しく分けているとします。
| あなたのチップ | 1250 | 2500 | 5000 | 7500 | 10000 |
|---|---|---|---|---|---|
| 順位点の取り分 | 15.21 | 25.00 | 37.00 | 44.45 | 50.00 |
| 1000チップあたり | 12.16 | 10.00 | 7.40 | 5.93 | 5.00 |
チップが 2500 から 5000 に2倍になっても、取り分は 25 から 37 にしか増えません（1.48倍）。チップを全部（10000）集めても 50点で、2500のときの2倍です。チップを増やすほど、1枚あたりの価値は下がっていきます。
逆に言えば、チップを失う痛みは、同じ量を得る喜びより大きくなります。2500 から 1250 失うと取り分は 25 から 15.21 へ 9.79点 減りますが、2500 から 1250 増やして 3750 にしても、取り分は 25 から 31.86 へ 6.86点 しか増えません（残りの3人で等しく分けた場合）。
バブルでは、コールに必要な勝率が上がる
バブル とは、あと1人脱落すれば残り全員が順位点（賞品）をもらえる場面のことです。上の4人の大会（3位までが順位点）がちょうどバブルです。
場面：4人とも 2500。ほかの人はフォールドし、相手があなたにオールイン（持っているチップを全部賭ける）してきた。あなたは 9♠9♥、相手は A♦K♣ を見せている（話を簡単にするため、ブラインドなどポットのほかのチップは考えない）
勝率は 9♠9♥ 対 A♦K♣ で、勝ち 55.5%・引き分け 0.3%・負け 44.2% です（全1,712,304通りを計算）。
チップだけで考えると（チップEV）
コールに必要な勝率は、ポットオッズ（コールに必要な勝率）＝ 2500 ÷（2500 ＋ 2500）＝ 50%。勝率55.5%なので、チップの期待値ではコールが得です（コールの EV ＝ 0.555 × 5000 ＋ 0.003 × 2500 ≒ 2784 ＞ フォールドの 2500）。
ICM で考えると
フォールド：4人とも2500のまま → 取り分 25点
コールして勝つ：あなた5000、相手は脱落、残り 2500・2500
- 1位 0.5、2位 ＝ 0.25 × 5000/7500 × 2 ＝ 0.3333、3位 ＝ 0.1667
- 取り分 ＝ 50 × 0.5 ＋ 30 × 0.3333 ＋ 20 × 0.1667 ＝ 25 ＋ 10 ＋ 3.33 ＝ 38.33点
コールして負ける：あなたが4位で脱落 → 0点
必要勝率 ＝ 25 ÷ 38.33 ＝ 65.2%
9♠9♥ の勝率 55.5% は 65.2% に届かないので、ICM ではフォールドが得です。コールの取り分は 0.555 × 38.33 ＋ 0.003 × 25 ≒ 21.4点 で、フォールドの 25点 より約3.6点 少なくなります。
チップでは得なのに、順位点では損なんですね。
勝ってチップが倍になっても取り分は 25 → 38.33 で 1.53倍にしかならない。でも負けると 25 → 0 で全部なくなる。得るものより失うもののほうが重いから、そのぶん高い勝率が必要になるんだ。
この「チップEVの必要勝率より余分に必要な勝率」（ここでは 65.2% − 50% ＝ 15.2%）を リスクプレミアム と呼ぶことがあります。
チップがちがう場合
チップの量がちがうと、必要勝率も変わります。あなた 3000、オールインしてきた相手 4000（あなたより多い）、ほかの2人が 2000 と 1000 の場合を計算すると次のとおりです。
| フォールド | 勝ったとき | 必要勝率 | |
|---|---|---|---|
| 4人とも2500 | 25.00 | 38.33（5000） | 65.2% |
| あなた3000、相手4000、ほか2000・1000 | 29.49 | 40.45（6000） | 72.9% |
2つ目の場合は、1000しかない人が先に脱落しそうなので、フォールドして待つだけでも取り分が大きくなります。そのぶん、コールに必要な勝率はさらに上がります。
ICM の前提と限界
ICM は便利ですが、次のことを考えていないモデルです。
- 腕前のちがい：「1位になる確率＝チップの割合」は、全員の腕前が同じという前提
- ブラインドやポジション：次にだれがブラインドを払うか、だれが先に行動するかは入っていない
- このあとの展開：チップが多い人がそれを使ってほかの人に圧力をかけられる、といった効果は入っていない
それでも、「チップの量と取り分は比例しない」「バブルではコールに必要な勝率が上がる」という性質は、ICM の計算から確かめることができます。
よくある勘違い
「チップが2倍になれば取り分も2倍」：上の4人の例では、2500 → 5000 で取り分は 25 → 38.33（相手が脱落した場合）。2倍にはなりません。チップを全部集めても1位の分しかもらえないからです。
「勝率が50%より高ければオールインにコールしてよい」：それはチップだけで考えた場合です。バブルの4人・同じチップの例では、必要勝率は 65.2% でした。チップが同じ量の勝負でも、順位点で考えると必要勝率は50%になりません。
「ICM の取り分＝実際にもらえる点」：ICM の値は、腕前が同じ人どうしで何度もくり返したときの平均（期待値）です。実際には、順位が決まればそのとおりの順位点をもらいます。
ここが大事！
- 順位で点が決まる大会では、チップの量と順位点の取り分は比例しない
- Malmuth-Harville 方式：1位の確率 ＝ 自分のチップ ÷ 全員のチップ。2位以下は1位の人を除いて同じ計算をくり返す
- 3人・5000/3000/2000・順位点50/30/20 の取り分は 38.39・32.75・28.86。チップの多い人は割合より少なく、少ない人は多い
- チップを増やすほど 1枚あたりの価値は下がる（4人の例で1000チップあたり 10.00 → 7.40 → 5.00）
- バブル（4人・2500ずつ・3位まで順位点）でオールインにコールするには、チップEVの50%ではなく 65.2% の勝率が必要